Deixem de preocupar-nos tant,

que ara venen les vacances de Nadal!

Reportatge interessant al diari EL PAIS, aquí.

Un altre de probabilitats

Dedicat a en Dani Alonso

Una dona embarassada sap, pels resultats d'una ecografia, que està esperant bessons, i que seran dos varons. El seu metge li ha dit que 1 de cada 3 parts dobles resulta ser de bessons idèntics.
Quina és la probabilitat que els dos fills d'aquesta dona siguin bessons idèntics?


- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -


Solució 1:

Assumim que la probabilitat que una fecundació
produeixi un nen o una nena és la mateixa, 1/2.

Pr(2 nens) = 1/4
Pr(2 nens | bessons idèntics) = 1/2
Pr(bessons idèntics) = 1/3

Teorema de Bayes:

Pr(A|B) = Pr(B|A) * P(A) / P(B)

Si prenem:
A = bessons idèntics
B = 2 nens
tenim:

Pr(bessons idèntics | 2 nens)

Pr(2 nens | bessons idèntics) * Pr(bessons idèntics)
=  ----------------------------------------------------
                Pr(2 nens)

1/2 * 1/3
= --------- = 2/3
 1/4

Solució 2:

La clau del raonament és en la suposició (errònia)
que la probabilitat de tenir dos nens és 1/4.
En realitat és la següent:

Pr(2 nens)
= Pr(2 nens | no idèntics) + Pr(2 nens | bessons idèntics)
= 1/4 * 2/3 + 1/2 * 1/3 = 1/6 + 1/6 = 1/3

Llavors el càlcul és:

Pr(2 nens) = 1/3

Pr(2 nens | bessons idèntics) = 1/2
Pr(bessons idèntics) = 1/3

Teorema de Bayes:

Pr(A|B) = Pr(B|A) * P(A) / P(B)

Si prenem:
A = bessons idèntics
B = 2 nens

tenim:

Pr(bessons idèntics | 2 nens)

Pr(2 nens | bessons idèntics) * Pr(bessons idèntics)
= ----------------------------------------------------
              Pr(2 nens)

1/2 * 1/3
= --------- = 1/2
 1/3

En aquest problema, l'esdeveniment "tenir dos nens" no és ben bé tenir dos nens, sinó més aviat "tenir dos nens en un mateix part". Llavors s'entén més el resultat de la segona solució.

En el món de la probabilitat tot és relatiu (el problema de les 3 portes n'és un bon exemple): quan llegeixo de nou l'enunciat veig que també podem arribar a la conclusió que la probabilitat de tenir bessons idèntics és 1/3, tal i com li diu el metge a la dona inicialment.

Per tant, en la meva modesta opinió, hi ha tres resultats possibles (1/3, 1/2 o 2/3) que poden ser justificables des d'algun punt de vista.

Les ciutats amb més habitants de Catalunya

Quina posició ocupa Vic, la meva ciutat, entre les més poblades de Catalunya?

La resposta l'he trobat a la Viquipèdia, aquí. És la vint-i-novena amb més habitants. Poso el llistat amb les trenta primeres.

Nom	Comarca	Població 2007
Barcelona	Barcelonès	1605602
L'Hospitalet de Llobregat	Barcelonès	248150
Badalona	Barcelonès	221520
Sabadell	Vallès Occidental	200545
Terrassa	Vallès Occidental	199817
Tarragona	Tarragonès	131158
Lleida	Segrià	125677
Santa Coloma de Gramenet	Barcelonès	119056
Mataró	Maresme	118748
Perpinyà	Rosselló	116700
Reus	Baix Camp	101767
Girona	Gironès	89890
Cornellà de Llobregat	Baix Llobregat	84289
Sant Boi de Llobregat	Baix Llobregat	81368
Sant Cugat del Vallès	Vallès Occidental	73774
Manresa	Bages	71772
Rubí	Vallès Occidental	70006
El Prat de Llobregat	Baix Llobregat	63069
Vilanova i la Geltrú	Garraf	62826
Viladecans	Baix Llobregat	61168
Granollers	Vallès Oriental	58940
Castelldefels	Baix Llobregat	58663
Cerdanyola del Vallès	Vallès Occidental	57959
Mollet del Vallès	Vallès Oriental	51713
Esplugues de Llobregat	Baix Llobregat	46808
Gavà	Baix Llobregat	44531
Sant Feliu de Llobregat	Baix Llobregat	42486
Figueres	Alt Empordà	39641
Vic	Osona	38747
Blanes	Selva	37819

El preu dels fitxatges

Ja que avui estic especialment inspirat, acabo amb un escrit que volia fer ja fa temps. És sobre el preu dels fitxatges en el món del futbol, i el que es paga pels jugadors en general.

Ens hem passat l'estiu criticant, amb raó, el que s'ha gastat el president del Madrid en fitxatges: un disbarat, més de 250 milions d'euros! I més tenint en compte el moment de crisi.

El Barça tampoc ens hem quedat curts (faig servir primera persona ja que en sóc seguidor, no per res més). Mentre anàvem criticant els madrilenys hem gastat "només" 100 milions d'euros, aproximadament! Ah, i hem renovat en Messi: a partir d'ara li pagarem 10 milions d'euros anuals.

El futbol és l'esport més popular al nostre país. Els nens i joves creixem admirant els jugadors dels nostres equips favorits. Què aprenem veient els diners que es paguen per aquests jugadors i el que cobren? El clàssic argument de que hem d'estudiar per a tenir més possiblitats quan siguem adults queda en ridícul davant dels diners que mou el món del futbol. Què han estudiat en Messi o en Cristiano Ronaldo?

Com deia el savi de "Dinamita": Reflexionem-hi, sisplau, reflexionem-hi!

El preu dels aliments

Fa uns dies va aparèixer a La Vanguardia un escrit on es parlava del què cobren els pagesos per a cultivar aliments i el que acabem pagant els consumidors. Hi havia el gràfic següent:

Com podeu veure, els intermediaris hi guanyen molt, mentre que el pagès segurament no rep el que hauria de guanyar per la feina que fa.

A més, hem de tenir en compte que els aliments són bàsics per a la nostra vida, són un producte de primera necessitat imprescindible. Potser degut al preu que paguem per ells, sovint no molt alt, no els valorem com ho hauríem de fer.