No hi ha millor manera d'expressar el conflicte amb el que es troba ara la cultura de l'esforç el món de l'educació. En comparteixo plenament les idees.
2010/08/22
Un futuro de balones
Article d'Antoni Puigverd publicat a La Vanguardia el 21 d'agost de 2010
No hi ha millor manera d'expressar el conflicte amb el que es troba ara la cultura de l'esforç el món de l'educació. En comparteixo plenament les idees.
No hi ha millor manera d'expressar el conflicte amb el que es troba ara la cultura de l'esforç el món de l'educació. En comparteixo plenament les idees.
2010/08/14
No és una illa per a joves
Publicat a La Vanguardia el 10 d'agost de 2010
M'ha agradat aquest article. Explica la història de l'illa escocesa de Lismore, ara pràcticament abandonada, on hi viuen poc més de 100 persones, la gran majoria de més de 60 anys. I no volen ni sentir a parlar de "la civilització". A més, gairebé tots els homes es diuen Duncan, el que provoca que s'hagin d'identificar pel sobrenom: "Duncan el de la granja de la muntanya", "Duncan el que va néixer el dia de Nadal"...
M'ha agradat aquest article. Explica la història de l'illa escocesa de Lismore, ara pràcticament abandonada, on hi viuen poc més de 100 persones, la gran majoria de més de 60 anys. I no volen ni sentir a parlar de "la civilització". A més, gairebé tots els homes es diuen Duncan, el que provoca que s'hagin d'identificar pel sobrenom: "Duncan el de la granja de la muntanya", "Duncan el que va néixer el dia de Nadal"...
Estudis sobre els preus i el grau de satisfacció dels supermercats
Extret d'El 9 Nou del 13 d'agost de 2010
Últimament s'han publicat dos estudis que avaluen els supermercats. Un, fet pel departament d'Economia de la Generalitat, es fixa en els preus, i sobre un promig de 100 elabora els preus mitjans de cada supermercat. L'altre, fet per l'OCU (Organització de Consumidors i Usuaris) avalua diversos paràmetres obtenint un índex de satisfacció general per cada supermercat. Els resultats els podeu veure en el gràfic.
Últimament s'han publicat dos estudis que avaluen els supermercats. Un, fet pel departament d'Economia de la Generalitat, es fixa en els preus, i sobre un promig de 100 elabora els preus mitjans de cada supermercat. L'altre, fet per l'OCU (Organització de Consumidors i Usuaris) avalua diversos paràmetres obtenint un índex de satisfacció general per cada supermercat. Els resultats els podeu veure en el gràfic.
2010/08/05
Quin és el número més gran que podem escriure?
Dedicat a l'Adrià Gascon.
Extret de http://www.scottaaronson.com/writings/bignumbers.html
Imaginem que participem en un concurs on, en 15 segons, hem d'escriure el número més gran que coneguem (un nombre concret, no s'hi val escriure "infinit"). Quins nombres podem escriure?
La primera idea que ens ve al cap és escriure una seqüència de nous:
999999999999999999
Però de seguida ens n'adomem que, si en comptes d'escriure nous escrivim uns, anem molt més ràpid i podem escriure moltes més xifres en el mateix temps:
11111111111111111111111
I si exponenciem? Quin número és més gran: (9^9)^9 o 9^(9^9)? El segon, així que una nova proposta és el número
9^(9^(9^(9...)))
que s'abrevia com
9^9^9^9...
Hi ha operacions més poderoses que l'exponencial? Sí, de fet l'operació exponencial forma part d'una cadena d'operacions, anomenada la seqüència d'hiperoperacions.
La hiperoperació elemental consisteix en sumar 1:
H0(a,b) = b + 1
La hiperoperació primera consisteix en sumar:
H1(a,b) = a + b
La segona és la multiplicació:
H2(a,b) = a * b
La tercera és l'exponenciació:
H3(a,b) = a ^ b
La quarta s'anomena tetració, i es defineix com:
H4(a,b) = a ^ a ^ a ^ ... ^ a (b vegades)
La fórmula general d'una hiperoperació és:
Hn(a,b) = b + 1 si n = 0
Hn(a,b) = a si n = 1, b = 0
Hn(a,b) = 0 si n = 2, b = 0
Hn(a,b) = 1 si n >= 3, b = 0
Hn(a,b) = Hn-1(a,Hn(a,b-1)) altrament
Així, pel cas de la tetració, tenim el que havíem comentat:
H4(a,b) = H3(a,H4(a,b-1)) = H3(a,H3(a,H4(a,b-2))) = ... = a ^ (a ^ ... ^ a)
Si fixem els valors de a i b al subíndex de la hiperoperació obtenim (una versió de) la seqüència d'Ackermann. Els seus primers elements en són:
A(1) = 1 + 1
A(2) = 2 * 2
A(3) = 3 ^ 3
A(4) = 4 ^ 4 ^ 4 ^ 4
i la fórmula general és:
A(n) = Hn(n,n)
que podem calcular amb la recurrència que hem presentat abans.
Una bona resposta a la pregunta que plantegem en aquest escrit és, doncs, un número ben gran de la seqüència d'Ackermann.
La funció d'Ackermann, és a dir, la funció que donat n computa A(n) té propietats que la fan especial. És una funció computable total que no és primitiva recursiva. És a dir, existeix un algorisme (un programa) que la pot computar, però que creix més ràpid que les funcions primitives recursives. Per aquest escrit en tenim prou quedant-nos amb aquesta idea, no ho detallarem més. La funció d'Ackermann mostra que, tot i que totes les funcions primitives recursives són computables, el recíproc no és cert.
Però encara hi ha nombres més grans que els de la seqüència d'Ackermann. Però necessitem utilitzar la definició de Màquina de Turing. Una funció és computable si existeix una Màquina de Turing que la calcula en un nombre finit de passos. I podem classificar les Màquines de Turing segons el nombre de regles que tenen escrites a la cinta. Llavors, fixat un nombre N de regles, hi ha un nombre finit de MT que tenen N regles, i es divideixen en dos conjunts: les que no s'aturen i les que s'aturen. D'aquestes últimes, cadascuna executarà un nombre de passos fins aturar-se. Doncs la seqüència "Busy Beaver" es defineix com:
BB(N) = max{nombre de passos abans d'aturar-se d'una MT amb N regles}
Aquests nombres són immensos: de fet se'n coneixen ben pocs:
BB(1) = 1
BB(2) = 6
BB(3) = 21
BB(4) = 107
No es coneix el valor de BB(5), tot i que se sap que és més gran de 47 milions. I pel que fa al valor de BB(6), es coneix que supera els 8.000 bilions...
Què us sembla si responem la pregunta inicial amb un nombre ben gran de la seqüència BB?
Extret de http://www.scottaaronson.com/writings/bignumbers.html
Imaginem que participem en un concurs on, en 15 segons, hem d'escriure el número més gran que coneguem (un nombre concret, no s'hi val escriure "infinit"). Quins nombres podem escriure?
La primera idea que ens ve al cap és escriure una seqüència de nous:
999999999999999999
Però de seguida ens n'adomem que, si en comptes d'escriure nous escrivim uns, anem molt més ràpid i podem escriure moltes més xifres en el mateix temps:
11111111111111111111111
I si exponenciem? Quin número és més gran: (9^9)^9 o 9^(9^9)? El segon, així que una nova proposta és el número
9^(9^(9^(9...)))
que s'abrevia com
9^9^9^9...
Hi ha operacions més poderoses que l'exponencial? Sí, de fet l'operació exponencial forma part d'una cadena d'operacions, anomenada la seqüència d'hiperoperacions.
La hiperoperació elemental consisteix en sumar 1:
H0(a,b) = b + 1
La hiperoperació primera consisteix en sumar:
H1(a,b) = a + b
La segona és la multiplicació:
H2(a,b) = a * b
La tercera és l'exponenciació:
H3(a,b) = a ^ b
La quarta s'anomena tetració, i es defineix com:
H4(a,b) = a ^ a ^ a ^ ... ^ a (b vegades)
La fórmula general d'una hiperoperació és:
Hn(a,b) = b + 1 si n = 0
Hn(a,b) = a si n = 1, b = 0
Hn(a,b) = 0 si n = 2, b = 0
Hn(a,b) = 1 si n >= 3, b = 0
Hn(a,b) = Hn-1(a,Hn(a,b-1)) altrament
Així, pel cas de la tetració, tenim el que havíem comentat:
H4(a,b) = H3(a,H4(a,b-1)) = H3(a,H3(a,H4(a,b-2))) = ... = a ^ (a ^ ... ^ a)
Si fixem els valors de a i b al subíndex de la hiperoperació obtenim (una versió de) la seqüència d'Ackermann. Els seus primers elements en són:
A(1) = 1 + 1
A(2) = 2 * 2
A(3) = 3 ^ 3
A(4) = 4 ^ 4 ^ 4 ^ 4
i la fórmula general és:
A(n) = Hn(n,n)
que podem calcular amb la recurrència que hem presentat abans.
Una bona resposta a la pregunta que plantegem en aquest escrit és, doncs, un número ben gran de la seqüència d'Ackermann.
La funció d'Ackermann, és a dir, la funció que donat n computa A(n) té propietats que la fan especial. És una funció computable total que no és primitiva recursiva. És a dir, existeix un algorisme (un programa) que la pot computar, però que creix més ràpid que les funcions primitives recursives. Per aquest escrit en tenim prou quedant-nos amb aquesta idea, no ho detallarem més. La funció d'Ackermann mostra que, tot i que totes les funcions primitives recursives són computables, el recíproc no és cert.
Però encara hi ha nombres més grans que els de la seqüència d'Ackermann. Però necessitem utilitzar la definició de Màquina de Turing. Una funció és computable si existeix una Màquina de Turing que la calcula en un nombre finit de passos. I podem classificar les Màquines de Turing segons el nombre de regles que tenen escrites a la cinta. Llavors, fixat un nombre N de regles, hi ha un nombre finit de MT que tenen N regles, i es divideixen en dos conjunts: les que no s'aturen i les que s'aturen. D'aquestes últimes, cadascuna executarà un nombre de passos fins aturar-se. Doncs la seqüència "Busy Beaver" es defineix com:
BB(N) = max{nombre de passos abans d'aturar-se d'una MT amb N regles}
Aquests nombres són immensos: de fet se'n coneixen ben pocs:
BB(1) = 1
BB(2) = 6
BB(3) = 21
BB(4) = 107
No es coneix el valor de BB(5), tot i que se sap que és més gran de 47 milions. I pel que fa al valor de BB(6), es coneix que supera els 8.000 bilions...
Què us sembla si responem la pregunta inicial amb un nombre ben gran de la seqüència BB?
2010/06/01
Ajudant a digitalitzar llibres
El dia 1 d'agost Màrius Serra va publicar a La Vanguardia un escrit on explicava l'origen del sistema CAPTCHA, que serveix per a distingir persones de màquines quan naveguem per Internet, i una aplicació d'aquest mètode anomenada reCAPTCHA, que fa servir paraules de textos escanejats i d'aquesta manera l'usuari contribueix a la seva digitalització. Més informació aquí. Molt interessant i molt bona idea.
Subscriure's a:
Missatges (Atom)